Part1
拓扑绝缘体是一种不同于金属和绝缘体的崭新的物态，它最直觉的性质便是其内部为绝缘体，而表面却能导电。就像是一个绝缘的磁器碗，镀了金以后，便具备了表面的导电性。不过，咱们以后会领会到，这是两种实质上全部不同的表面导电。镀金碗表面的导电性，对磁器来讲是外加的，将跟着镀层的毁坏而消散。而拓扑绝缘体的表面导电是源自决缘体的内禀性质，杂质和毛病都不会影响它。
广义而言，前方讲解过的量子霍尔效应所对应的物态，便是二维的拓扑绝缘体。众人还记得第27节中曾经提到过整数量子霍尔效应的边际导电性，咱们能够从电子的典范疏通图象来领会它：位于二维电子气中心部份的电子，大大都处于局域态而做转动疏通，惟独界限上的电子，它们不能产生完好的转动，最后只朝一个方位行进，进而产生了界限电流。
从图30.1a所示的电子疏通典范图象，还能够看出电子转动疏通的方位是与外磁场的方位亲昵相干的，并由此而产生了界限电流的手征性。手征性的观念与死板中罗纹的方位是左旋依然右旋近似，在典范电磁学中则对应于右手定章肯定的磁场中电子的疏通方位。即使图30.1a中操纵右手定章而得出的界限电流方位是来自于典范理论，但与量子力学预言的终归是一致的。
从量子理论的计较还能够表明，这个界限电流是由于其边际存在无耗散的一维导电通道而产生，这类一维界限量子态通道形式的数量便是整数量子霍尔效应的朗道能级填充因子n。而同时，这个n又与哈密顿量参数空间，兴许动量空间的拓扑性质相干。在上一节中咱们曾经说起，n原来便是这个动量状况空间的被称为“第一陈数”的拓扑稳固量。那末，也便是说，IQHE中界限电流的性质是由物资组织动量空间的拓扑性质所决计的。这句话是甚么道理呢？它的道理是说，界限电流的性质，包罗无耗散、手征性、电流方位等等，不会随便改革，除非产生了量子相变，使得动量空间的拓扑性质有所改革。这也便是每每相干文件上所谓“界限电流受拓扑庇护”的道理。
图30.1：量子霍尔效响应量子自旋霍尔效应的边际电流
跟着对量子霍尔效应的领会慢慢深入，人们意识到其界限电流的非凡性。格外是无耗散这点，固然更是吸引着被“摩尔定律行将闭幕”所猜疑着的科学家和工程钻研人员们。
摩尔定律的闭幕归根结柢是由于电流在尺寸过小的半导体器件中的发烧和耗费。从典范热力学的意见来看，封锁系统中的疏通老是从有序到无序，熵老是接续增多。电路中电子的有序疏通最后将调动成无规的热疏通而耗散掉。要想减速摩尔定律，务必尽大概地增加电路中的发烧和耗费。这方面，宏观寰球里的希奇局势兴许能给咱们一些诱导。好比说，带负电的电子绕着带正电的原子核转动，从典范理论看，它该当发射电磁波耗费能量而闭幕疏通。但本相环境并不这样，电子的绕核疏通是没有耗费的，它们能够永恒地转下去。那末，能否大概让咱们欺诈一点这类宏观疏通的非凡上风，来处理咱们宏观寰球中“摩尔定律行将闭幕”的厄运运道呢？
量子霍尔效应的边际电流便具备无耗散的性质，要是能对此加以欺诈就行了。几十年前，冯?克利青在钻研MOSFET材料时，觉察了这类希奇的效应，如今能否能将这类效应改善推行，再返归来运用到电子产业中造福人类呢？
实践运用量子霍尔效应的艰巨是在于它需求一个万分雄壮的磁场。不过，在霍尔效应的典范家属成员中，也有两个成员是不需求外加磁场的，其一便是霍尔自身在觉察通俗霍尔效应三年以后在铁磁物资中窥察到的失常霍尔效应；其二则是很早就被理论预言，但直到年才被试验阐明的自旋霍尔效应。既然曾经有了这两种不需求磁场的典范成员，就也该当有大概窥察到它们的量子对应物：量子失常霍尔效响应量子自旋霍尔效应。兴许说，咱们有大概在试验室里创造出一些崭新的物态来：量子失常霍尔态和量子自旋霍尔态。
年，美国普林斯顿大学的物理学家霍尔丹（F.D.M.Haldane），第一个预期了没有磁场的量子霍尔效应。
量子新物态的构思使人焕发，格外是个中的量子自旋霍尔态，不是刚巧也能用上电子自旋这个自在度，与比年来蒸蒸日上的自旋电子学关联起来吗。
怎样才力获得量子自旋霍尔态呢？在这个钻研方位上，别离有两位物理学家自力地做出了二维量子自旋霍尔态的理论预言。一是美国宾州大学的查尔斯·凯恩（Kane）熏陶，他采取了霍尔丹年提议的模子，于年第一个在理论上设想了量子自旋霍尔态，并以为这类效应有大概在单层石墨烯样本中得以完结。另一位便是美籍华侨科学家，斯坦福大学的张守晟熏陶，他在年提议在HgTe/CdTe量子阱编制中，由于该物资存在一种“能带回转”，有大概完结量子自旋霍尔效应。
量子自旋霍尔效应，如图30.1b所示，不需求外加磁场。当自旋和轨道的互相耦配合用充实大的时光，能够接替外磁场的效用，产生边际电流。不过，由于电子自旋有两种：自旋上和自旋下，它们与轨道的耦配合用刚巧产生两股方位相悖的电流。要是材猜中两种自旋电子的密度近似的话，两种自旋流的电荷效应互相对消，总电流为0，但总自旋流却不会为0。如许，欺诈从前咱们讲解过的自旋电子学器件，就大概在给定的方位上，获得咱们所需求的自旋流，并将其运用于电路中。
后来的钻研处事注明，石墨烯中的自旋轨道耦配合用很小，是以很难视察到量子化的自旋霍尔效应。而张守晟所预言的HgTe/CdTe量子阱编制中的量子自旋霍尔效应，很快便被德国Molenkamp钻研团队的试验所阐明。
怎样从拓扑的角度来对待上头所述的二维量子自旋霍尔态呢？
拓扑绝缘体所说起的拓扑，与材料自身在可靠空间的拓扑形态是全部无关的。这点众人早就懂得了，只不过在此从头强调而引发关心云尔。当咱们只触及单电子图象、不思考多体疏通时（好比，将分数量子霍尔效应除外），依然能够用能带理论来评释拓扑绝缘体。要是从能带论动身而谈及的拓扑，则指的是材料在布里渊地区中与能带组织相干的拓扑组织。
图30.2：石墨烯的晶格组织及能带组织
理论物理学家为甚么首先料到在石墨烯中追寻量子自旋霍尔态呢？该当是石墨烯的非凡能带组织启示了他们的思惟。凯恩起初也便是在石墨烯的霍尔丹模子根底上，提议量子自旋霍尔态的。
石墨烯可算是一种最薄的晶体材料，由于它只由一层碳原子构成（见图30.2a）。
早在年，加拿大理论物理学家P.R.Wallace，就从理论上钻研了石墨烯的能带组织。不过，久长以来，人们从热力学的意见以为这类单层二维的晶体组织不稳固，因此事实中不行能存在。
不过，可靠环境却偶尔出乎人们的预料除外。年，曼切斯特大学的两位物理学家：AndreGeim和KonstantinNovoselov，胜利地用一种初看起来仿佛有些稚嫩好笑的法子，在试验室里获得了稳固的石墨烯！他们的法子再容易不过，听起来彷佛小门生城市做，便是把层状石墨（产生铅笔心的物资）在胶带上一再地扯开和粘贴，这样往返轮回，便能使石墨样本的层数接续地增加，末了到达的极限便是惟独一层原子的石墨烯。由于此项进贡，两位物理学家获得了年的诺贝尔物理奖。
石墨烯的能带组织很格外（图30.2b），特为是它在6个对称的K和K’点四周的锥形组织。恰是它们培养了石墨烯非同通俗的电学物理性质。
从图30.2b右侧强调了的锥形图看来，纯石墨烯能带中的导带和价带，再有费米能级，线性订交于一个点。这个点被称为“狄拉克点”。导带和价带则展现为高低对称的锥形，称之为“狄拉克锥”。
像石墨烯能带具备的这类“狄拉克点”是很非凡的。寻常来讲，电子的能带弧线，在导带底和价带顶处的形态，如图30.2c所示，是热诚抛物线的。抛物线形态是由于电子具备非0的停止品质，对真地面的自在电子来讲，能量E正比于动量k的平方。运用到晶格中的电子时，大大都景象依然合适这个平方规律，只不过电子的品质该当代之以一个灵验品质云尔。为甚么要用灵验品质呢？由于电子是在晶格内疏通，晶格对它的疏通兴许有障碍，兴许有辅助，灵验品质便归纳了晶格对电子疏通的影响。在石墨烯的狄拉克点四周，能量动量间的平方规律没有了，导带和价带线性订交于一点，这注明能量E和动量k展现为线性依赖相干，无停止品质的光子的能量动量便是遵从这类线性相干。本相上，对石墨烯的钻研阐明，石墨烯中的电子在k=K四周的举动，确实展现为一种灵验品质为0的狄拉克费米子举动。这时光，电子的疏通不能用非相对论的薛定谔方程形貌，而需求用量子电动力学的狄拉克方程来形貌。这类无品质载流子的存在，使得石墨烯中的电子能够通顺地输运.是以，石墨烯具备比寻常金属大很多的导电性。此外，电子极大的输运性也致使在室温下便能窥察到石墨烯的量子霍尔效应。
参考质料：
F.D.M.Haldane，ModelforaquantumHalleffectwithoutLandaulevels:Condensed-matterrealizationoftheparityanomaly，PhysicalReviewLetters,Volume61,Issue18,October31,,pp.-
C.L.KaneandE.J.Mele.Quantumspinhalleffectingraphene.PhysicalReviewLetters,95(22):,November.
B.AndreiBernevigandShou-ChengZhang.Quantumspinhalleffect.PhysicalReviewLetters,96(10):,March.
Koenig,M.etal.QuantumspinhallinsulatorstateinHgTequantumwells.Science(),–().
Wallace,P.R.().TheBandStructureofGraphite.PhysicalReview71:–.
K.S.Novoselov,A.K.Geim,S.V.Morozov,D.Jiang,Y.Zhang,S.V.Dubonos,I.V.Grigorieva,A.A.Firsov,Science,,()。
Part2
上节中讲解的石墨烯，由于它希奇的物理性质而引发了人们的乐趣。它的无品质的相对论性准粒子，被窥察到的整数及分数量子霍尔效应，为根底物理钻研的很多方面，供给了理论模子和试验根据。它优良的电子输运性质，又使其在自旋电子学等工程范围大概获得普遍的实践运用。
图31.1列出了石墨烯及量子霍尔态等几种物态在费米能级四周的能带图。
从图31.1中的（a）和（b），咱们能够看到双层和单层碳原子组织能带形态的不同。前者是抛物线型来往，此后者是线性的。（务必揭示细致的是，咱们所说的这两种石墨烯能带图都是指在二维空间中能无穷蔓延的梦想晶体之能带图。）
那末，量子霍尔态的能带形态又怎样呢？
图31.1：两种石墨烯及量子霍尔态等能带图之比较
图31.1c是量子霍尔态的能带示企图。它的导带及价带在费米能级四周的形态，热诚抛物线，近似于普遍绝缘体。不过，咱们在上一节中也说过，量子霍尔态体内固然是绝缘体，但它们由于边际态的存在而导电。在图中，量子霍尔态的边际态是一条联接导带和价带的直线。是以，量子霍尔态在低能态四周的举动，和石墨烯相仿，能量和动量的相干也是线性的，也存在无品质的相对论性准粒子。
由于量子霍尔态的完结需求雄壮的外磁场，由这人们将乐趣转向不需求磁场的量子自旋霍尔效应，而且在试验室里曾经屡次窥察到了此种局势。对量子自旋霍尔态而言，不同的自旋有不同的界限态，是以，在图31.1d所示的自旋霍尔态能带图中，有两条直线联接导带和价带，它们别离对应于自旋上和自旋下的边际电流。这类景象下的能带图，看起来与梦想石墨烯的能带图更为近似了。
普遍的绝缘体，也大概产生边际态而产生边际导电，但却和前方两种景象下的边际态有实质的差别。图31.1e画出了普遍绝缘体的能带。图中的边际态弧线与费米能级订交，象征着在此绝缘体中能够存在边际电流。
再细致比较一下c、d、e三个图界限态的异同点便不难觉察，即使从这三个容易图中，也能够看出一点刚刚所谓的“实质差别”来：普遍绝缘体的谁人边际态的导电性是不稳固的：系统的慢慢接续改革能够使导电性增多或消散。好比说，在慢慢改革下，这个边际态能够消沉到与价带订交而增多导电性，但也大概慢慢抬高而摆脱费米能级线，末了被归类到导带中，而使得边际遗失导电性。不过，图c和图d所示两种量子效应下的边际态，倒是一条直线，直统统的从上到下，将导带和价带绑到一同，这个联接方法不会由于系统的慢慢接续改革而改革。兴许说，图c或d，与e的不同之处，能够用一句话归纳：边际态的拓扑组织不同。图e所示边际态的拓扑组织是平淡的，而图c或d的边际态则非平淡，其导电机能受其拓扑性质所庇护，这一类的量子物态，便被称为“拓扑绝缘体”，以差别于平淡的普遍绝缘体。真空属于普遍绝缘体。
前方的叙说中，为甚么老是要加之一句“系统慢慢接续改革”呢？这句话的道理，在数学上是为了保证系统的拓扑性质稳固，在物理上则是保证系统不产生量子相变。好比说：一坨近似球形的面团，要是被你慢慢接续地揉来揉去，依然是类球形的一坨面。但要是你把它从中心挖了一个洞，那就不是坚持拓扑性质稳固的“慢慢接续”改革，而是“相变”了。
刚刚是用容易的图象来注明拓扑绝缘体与普遍绝缘体的根底不同点。如今让咱们在这条路上走得更远一些。原来，图c、d、e中界限态的拓扑性质不过表面局势，并不够以评释拓扑绝缘体的实质，界限态展现不同的更深层因为，是由于体材料能带拓扑的不同。
当两个拓扑特色不同的绝缘体放在一同，就会产生导电的界限态。界面变为金属性，才力完结两种拓扑特色的接续改革。
既然是用拓扑性质来区份量子态，那末，便需求找一个拓扑稳固量来表征不同的态。这个拓扑稳固量每每对应于参数空间中不行积的贝里相位，贝里积分是在体材料的动量空间中举行，与边际态无关。由此再次表明，是体材料的能带拓扑组织决计了边际态的拓扑组织，进而才又决计了拓扑绝缘体的那种“被拓扑庇护、不受杂质和毛病扰乱”的边际导电性。
对整数量子霍尔态而言，这个拓扑稳固量便是在动量空间计较出来的“第一陈数”，它同时也即是与典范朗道能级相干的填充因子n。朗道能级是由外磁场而产生的，是以，正如咱们从形貌整数量子霍尔效应的电阻平台示企图所见，试验中窥察到的n与外磁场强度相干。不过，在量子自旋霍尔效应中，外磁场强度即是0。也便是说，量子自旋霍尔效应的n值只可为0，换言之，不能再用第一陈数来表征量子自旋霍尔态了。
那末，有甚么其余的稳固量，能用来表征量子自旋霍尔态呢？
量子自旋霍尔态的特点是不存在外加磁场，因此，在肯定的前提下能够具偶然间反演对称性。“时光反演”，甚么道理？顾名思义嘛，那便是将时光的流失方位反过来。固然，可靠的寰球中时光是不会倒流的，不过片子技巧为咱们供给了一个用设想来试验时光反演特点的最好园地。要是将一个个的片子画面反过来放，就可以摹拟时光反演的历程。从倒放的片子中咱们会觉察：有些东西（物理量）是正放反放稳固的，而有些是改革的。好比说，咱们思考电磁场中的疏通电子所触及的几个物理量：地方将不受时光倒流的影响，但速率要反向；电子的电荷是时光反演稳固的，但由于速率反过来了，是以电流要反向；电场强度E是时光反演稳固的，而磁场B要反向。磁场反向的因为是由于磁场是由电流产生的，时光倒过来时，电流反向了，因此磁场也反向了。
由上可知，磁场不是时光反演稳固的。量子自旋霍尔态没有磁场，因此便有大概坚持系统的时光反演对称性。也准许以欺诈这点来找出表征量子自旋霍尔态的守恒量？
相对于时光反演稳固性，KaneandMele提议用Z2稳固量来差别拓扑绝缘体和普遍绝缘体（Z2是指有两个元素的轮回群）。在他们的模子中，将自旋霍尔态当做两个（自旋上和自旋下）边际电流方位相悖的整数霍尔态的合成，见图31.2。
图31.2：自旋下的IQHE加自旋上的IQHE即是QSH
两个整数量子霍尔态相加，外磁场互相对消了，余下两个方位相悖的自旋流，展现为量子自旋霍尔态。这两个IQHE，能够别离用自旋陈数n上（自旋上）和n下（自旋下）来表征。Kane等人表明，时光反演对称性请求：n上+n下=0，是以，总陈数为零。不过，
nS=（n上-n下）/2
不会即是0。而且，他们还表明，能够用nS的奇偶性来形貌合成量子态的非平淡性：当nS为奇数时，系统好坏平淡的拓扑绝缘体；当nS为偶数时，系统是平淡的普遍绝缘体。
是以，近似于IQHE中的陈数n，界说一个Z2拓扑稳固量n=nSmod（2）。稳固量n就可以够用来表征二维拓扑绝缘体。这个观念还能够扩充到三维的拓扑绝缘体，即用4个Z2稳固量来表征三维拓扑绝缘体。
与文小刚提议的属于长程全体格斗的拓扑序观念不同，拓扑绝缘体和量子自旋霍尔态是属于更局域的短程量子格斗态。它们也能够看做是被某种对称性所庇护的拓扑序的例子：拓扑绝缘体被电荷守恒和时光反演所庇护；而量子自旋霍尔态则被电荷守恒和z方位自旋守恒所庇护。
前方商议的量子自旋霍尔态，是假如材猜中两种自旋的密度在费米能级四周是相等的。反之，要是某一个方位的自旋被按捺，好比说，在某种材猜中掺入某种铁磁性杂质，如许，就将摧残时光反演对称性，并有大概获得此外一种也不需求雄壮外加磁场的量子物态：量子失常霍尔效应。
刚刚几句话说起来随便，完结起来倒是格外艰巨。华夏科学院院士薛其坤率领的团队，年活着界上初次觉察了量子失常霍尔效应。对此咱们不再做更多的讲解，请见参考质料。
拓扑绝缘体及各式量子物态拓扑分类的理论中，仍有很多尚待处理的题目。这个中触及的观念，既相干到根底物理思惟，也包罗不同范围的数学理论。总之，大门曾经开放，理论还需完满，精过活益抬高的试验技巧，也将供应咱们越来越切确的数据。跟着越来越多的不同量子态被钻研、被觉察，物理学势必接续造福文化社会。
参考质料：
C.L.KaneandE.J.Mele，Z2TopologicalOrderandtheQuantumSpinHallEffect，Phys.Rev.Lett.95,()。
余睿、方忠、戴希，Z2拓扑稳固量与拓扑绝缘体，《物理》年第7期-页
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